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\markboth{}{513324 GEOMAGNETISMO - Tarea 3}

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\begin{document}

%\vspace{4cm}
\section*{513324 Geomagnetismo - Tarea 3}

\noindent \textbf{Problema 1.} La ley de Ohm para la densidad de corriente ($\mathbf{J}$) es 
\begin{equation}
\mathbf{J}=\sigma \left( \mathbf{E} + (\mathbf{u} \times \mathbf{B}) \right) \nonumber
\end{equation}
donde $\sigma$ es la conductividad.\\

\noindent \textbf{(a)}[1 pt] Use la ley de Ampere, con $\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=0$, para llegar a
\begin{equation}
\frac{1}{\mu_0\sigma} \nabla \times \mathbf{B} = \mathbf{E} + (\mathbf{u} \times \mathbf{B}) \nonumber
\end{equation}

\noindent \textbf{(b)}[1 pt] Tome el rotor ($\nabla \times$) de ambos lados, use la regla $\nabla \times \nabla \times \mathbf{B} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{B}
) - \nabla^2 \mathbf{B}$, y use las ecuaciones de Maxwell para llegar a la ecuaci\'on de inducci\'on magn\'etica:

\begin{equation}
 \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{u} \times \mathbf{B}) + \frac{1}{\mu_0 \sigma} \nabla^2 \mathbf{B}  \nonumber
\end{equation}

\noindent \textbf{(c)}[1 pt] Explique las suposiciones usadas para obtener la ecuaci\'on de difusi\'on desde la parte (b):
\begin{equation}
 \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \frac{1}{\mu_0 \sigma} \nabla^2 \mathbf{B} \nonumber
\end{equation}

\noindent \textbf{(d)}[2 pts] Asuma un campo externo sinusoidal, $B(z,t)\equiv B(z)e^{i \omega t}$,
sobre un semi-espacio con conductividad $\sigma$. Use la ecuaci\'on de difusi\'on de (c) para
mostrar que una soluci\'on para el campo magn\'etico en el semi-espacio es, con $B_0$ constante,

\begin{equation}
 B(z,t)=B_0e^{-\frac{z}{\delta}}e^{i(\omega t - \frac{z}{\delta})}, \textrm{ cuando }
\delta=\sqrt{\frac{2}{\mu_0 \sigma \omega}}. \nonumber
\end{equation}

\noindent \textbf{(e)}[1 pt] ?`Matem\'aticamente, que representa $\delta$? \\

\noindent \textbf{(f)}[1 pt] Use su respuesta de (e) para hacer una estimaci\'on de la frecuencia m\'axima con que es posible investigar un 
embalse geot\'ermico, usando m\'etodos magnetotel\'uricos, de 4 km de di\'ametro y 4 km de profundidad, con $\sigma = 0.01$ S/m en la 
corteza. \\

\noindent \textbf{(g)}[1 pt] Usando $\delta=\sqrt{\frac{2}{\mu_0 \sigma \omega}}$. ?`Es posible tener transmisi\'on por el manto desde un campo que oscila a altas
 frecuencias en el n\'ucleo, con suficiente amplitud para poder medirlo en la superficie? (Use $\sigma = 1$ S/m en el manto).

\newpage
\noindent \textbf{Problema 2.} Las ecuaciones que gobiernan la electrodin\'amica de la dinamo de un disco que se auto excita son
\begin{equation}
 \varepsilon = \frac{\Omega}{2\pi}\Phi \ \ \ \text{\begin{footnotesize}donde      \end{footnotesize}} \ \ \
 \Phi=\int_SB_zdS \ \ \ \ \text{\begin{footnotesize}(        \end{footnotesize}}\varepsilon\text{\begin{footnotesize} es la EMF inducida)                                                                                                                                                         
                                                                    \end{footnotesize}} \nonumber
\end{equation}
\begin{equation}
 \Phi=MI \ \ \ \text{\begin{footnotesize}(La inducci\'on mutua entre el alambre y el disco)                                                                   
   \end{footnotesize}} \nonumber
\end{equation}
\begin{equation}
 \varepsilon=L\frac{dI}{dt}+RI \ \ \ \ \text{\begin{footnotesize}(Cambios en la corriente son producidos por los efectos de inducci\'on y resistencia)       
                                                                                                                           \end{footnotesize}} \nonumber
\end{equation}
donde $\varepsilon$ es la EMF inducida por el movimiento del disco (\'area S, girando con una velocidad angular $\Omega$ por un campo magn\'etico $\mathbf{B}
$ que tiene una componente $B_z$ perpendicular al disco. $\Phi$ es el flujo magn\'etico por el disco, $M$ es la inductancia mutua entre el alambre y el disco, $I$ es la corriente en el alambre, $R$ es la resistencia en el circuito y $L$ es la auto-inductancia del circuito.\\

\noindent \textbf{(a)}[2 pts] Eliminando $\Phi$ y $\varepsilon$ de estas ecuaciones muestre que la ecuaci\'on que controla el sistema es
\begin{equation}
 L\frac{dI}{dt}=\left(\frac{\Omega M}{2\pi}-R\right)I \nonumber
\end{equation}

\noindent \textbf{(b)}[2 pts] Encuentre una soluci\'on para $I(t)$ separando las variables e integrando.\\

\noindent \textbf{(c)}[2 pts] ?`Cu\'al es la condici\'on para que $I(t)$ crezca en el tiempo?\\

\noindent \textbf{(d)}[2 pts] En una dinamo de un disco actual, ?`sigue creciendo el corriente indefinidamente? D\'e razones por su 
respuesta, asumiendo que un torque est\'atico $G$ maneja el movimiento del disco.



\end{document}