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\markboth{}{513324 GEOMAGNETISMO - Tarea 1}

%opening
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\begin{document}

%\vspace{4cm}
\section*{513324 Geomagnetismo - Tarea 1}

\noindent 1) La ecuaci\'on de Adams-Williamson, para determinar cambios en la densidad $\rho$ dentro de la Tierra como una funci\'on del radio $r$, depende sobre el par\'ametro s\'ismico $\Phi(r)$ y el campo gravitacional:
\begin{equation}
 \frac{\partial \rho}{\partial r}=-\frac{G\rho(r)M_r}{\Phi(r)r^2} \notag
\end{equation}
donde $\Phi=\kappa_S/\rho$ ($\kappa_S$ es el m\'odulo de incompresibilidad adiab\'atica), $G$ es la constante gravitacional y $M_r$ es la masa dentro del radio $r$.\\

\noindent(a) [2 pts] ?`Cu\'al es la expresi\'on para $M_r$ en t\'erminos de la distribuci\'on de densidad $\rho(r)$?\\

\noindent(b) [1 pts] ?`Cu\'al es la expresi\'on para $\Phi$ en t\'erminos de las velocidades de las ondas $P$ y $S$?\\
\noindent Recuerde que las velocidades de las ondas $P$ y $S$ son:
\begin{equation}
 V_P=\sqrt{\frac{\kappa_S+\frac{4}{3}\mu}{\rho}} \ \ \ \ y \ \ \ \ V_S=\sqrt{\frac{\mu}{\rho}} \notag
\end{equation}

\noindent(c) [4 pts] Describa como la ecuaci\'on de Adams-Williamson puede ser usada para determinar el perfil de densidad radial dentro de un planeta.\\

\hrule

\vspace*{0.3cm}

%\noindent 2) En los primeros a\~nos del siglo XX, gente aplicaron la ecuaci\'on de Adams-Williamson a la Tierra, y encontraron que dentro 
%del manto ($c\leq r\leq R$) una buena aproximaci\'on para $\rho(r)$ es
%\begin{equation}
% \rho(r)=\frac{\alpha R}{r} \notag
%\end{equation}
%donde $\alpha=3000$ kgm$^{-3}$, $R=6371$ km es el radio de la Tierra y $c=3481$ km es el radio del n\'ucleo.\\
%
%\noindent(a) [4 pts] Use la expresi\'on para la densidad de arriba para calcular la masa y el momento de inercia del manto (recuerde que el 
%momento de inercia alrededor de un eje es $I=\int r^2_{\perp} dM$).\\
%
%\noindent(b) [4 pts] Si el momento de inercia de la Tierra es $I_T=8.0\times10^{37}$ kgm$^2$ y su masa es $M_T=6.0\times10^{24}$kg, calcule 
%el momento de inercia del n\'ucleo $I_N$ y la masa del n\'ucleo $M_N$.\\
%
%\noindent(c) [2 pts] C\'omo compara $I_N$ con el valor de 0.4$M_Nc^2$ (el momento de inercia para una esfera homog\'enea).\\
%
%\noindent(d) [2 pts] ?`Por que la combinaci\'on de $M_N$ y $I_N$ que calculamos es muy improbable?\\
%
%\noindent(e) [2 pts] ?`Qu\'e errores existen con el c\'alculo de $\rho(r)$ (el c\'alculo que involucr\'o la aplicaci\'on de la ecuaci\'on 
%Adams-Williamson al manto de la Tierra?\\
%
%%\hline

%\vspace*{0.3cm}

\noindent 2) Considere un modelo simple del n\'ucleo que tiene un n\'ucleo interno con radio $R_I=1221$ km y densidad constante $\rho_I$, y 
un n\'ucleo externo con radio $R_N=3481$ km y densidad $\rho_N$. En \textit{Geof\'isica de la Tierra S\'olida} calculamos
el momento de inercia de este sistema
\begin{equation}
 I=\frac{8\pi}{15}(\rho_I R_I^5+\rho_N(R_N^5-R_I^5)) \notag
\end{equation}

\noindent(a) [4 pts] Considere un peque\~no aumento en el radio del n\'ucleo interno de $R_I$ a $R_I+\Delta R_I$, y encuentre una expresi\'on para el cambio fraccional en el momento de inercia $\frac{\Delta I}{I}$.\\

\noindent(b) [4 pts] Considere la conservaci\'on del momento angular para determinar el cambio fraccional en la velocidad angular 
$\frac{\Delta \omega}{\omega}$, y entonces el cambio fraccional en el periodo de rotaci\'on $\frac{\Delta T}{T}$ de la Tierra, cuando hay un 
cambio en el radio del n\'ucleo interno.\\

\noindent(c) [2 pts] Asuma que el n\'ucleo interno ha crecido a una tasa constante durante los \'ultimos $4.5\times10^9$ a\~nos, y determine la tasa en metros por siglo en que crece el radio.\\

\noindent(d) [4 pts] Usando los resultados de los partes (a) - (c), calcule el cambio en el largo del d\'ia en el \'ultimo siglo debido al 
crecimiento del n\'ucleo interno. Asuma que la densidad del n\'ucleo externo es $1\times10^4$ kgm$^{-3}$ y la del n\'ucleo interno es 
$1.5\times10^4$ kgm$^{-3}$.\\

\noindent(e) [4 pts] ?`C\'omo se compara tu respuesta de (d) con el 1.4 ms de cambio en el largo del d\'ia que se observa en el \'ultimo 
siglo? ?`Qu\'e otros factores podr\'ian existir?

\end{document}

